ESCOLA E. AZEVEDO COSTA

MATEMÁTICA - PROFº MÁRCIO ANDRÉ

AULA 01 - SEQUÊNCIAS

O diário do professor é composto pelos nomes de seus alunos. Esses nomes obedecem a uma ordem (são escritos em ordem alfabética), assim, essa lista de nomes (diário) é considerada uma sequência.

Os dias do mês são dispostos no calendário obedecendo a certa ordem, que também é um tipo de sequência.

Esses e vários outros exemplos de sequência estão presentes em nosso cotidiano. Observando-os, podemos definir sequência como:

NOÇÃO DE SEQUÊNCIA

Sequência é todo conjunto ou grupo no qual os seus elementos estão escritos em uma determinada ordem.

No estudo da matemática estudamos um tipo de sequência: a sequência numérica. Essa sequência que estudamos em matemática é composta por números que estão dispostos em uma determinada ordem preestabelecida.

Ao representarmos uma sequência numérica, devemos colocar seus elementos entre parênteses. Veja alguns exemplos de sequências numéricas:

• (2, 4, 6, 8, 10, 12, ... ) é uma sequência de números pares positivos.

• (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11...) é uma sequência de números naturais.

• (10, 20, 30, 40, 50...) é uma sequência de números múltiplos de 10.

• (10, 15, 20, 30) é uma sequência de números múltiplos de 5, maiores que cinco e menores que 35.

Essas sequências são separadas em dois tipos:

• Sequência finita é uma sequência numérica na qual os elementos têm fim, como, por exemplo, a sequência dos números múltiplos de 5 maiores que 5 e menores que 35.

• Sequência infinita é uma sequência que não possui fim, ou seja, seus elementos seguem ao infinito, por exemplo: a sequência dos números naturais.

Em uma sequência numérica qualquer, o primeiro termo é representado por a₁, o segundo termo é a₂, o terceiro a₃ e assim por diante. Em uma sequência numérica desconhecida, o último elemento é representado por an. A letra n determina o número de elementos da sequência.

(a₁, a₂, a₃, a₄, ... , a_n, ... ) sequência infinita.

(a₁, a₂, a₃, a₄, ... , a_n) sequência finita.

Para obtermos os elementos de uma sequência é preciso ter uma lei de formação da sequência. Por exemplo:

Determine os cinco primeiros elementos de uma sequência tal que an = 10ⁿ + 1, n N*

a1 = 10¹ + 1 = 10 + 1 = 11
a2 = 10² + 1 = 100 + 1 = 101
a3 = 10³ + 1 = 1000 + 1 = 1001
a4 = 10⁴ + 1 = 10000 + 1 = 10001
a5 = 10⁵ + 1 = 100000 + 1 = 100001

Portanto, a sequência será (11, 101, 1001, 10001, 100001).

ESCOLA E. GENERAL AZEVEDO COSTA

DISCIPLINA: MATEMÁTICA

PROFESSOR: MÁRCIO ANDRÉ

HORÁRIO SEMANAL DAS AULAS DIGITAIS:

SEGUNDA: 18:00 às 19:00

QUARTA: 20:00 às 21:00

BOA NOITE A TODOS !

INICIAREMOS HOJE COM UMA REVISÃO MATEMÁTICA PARA LOGO TIVERMOS O NOSSO PRIMEIRO ASSUNTO DO SEGUNDO ANO, DO ANO LETIVO 2020.

Lista de Exercícios: Operações Básicas da Matemática

OBS.: RESOLVA A REVISÃO DURANTE A AULA DE HOJE

1) Complete as sucessões numéricas seguintes:

Exemplo: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 3

a) 7, 14, 21, .... , .... , .... ,....
b) 9, 18, 27, .... , .... , .... ,....
c) 11, 22, 33, .... , .... , .... ,....
d) 12, 24, 36, .... , .... , .... ,....

2)  Arme e Resolva as contas:

a) 4 + 577 + 12 + 1004 =

b)285 + 122 + 43 + 8 + 7305 =

c)7815 + 427 + 2368 + 864 =

3) Escreva as denominações dos termos e do resultado da adição:

   623   ------>
+ 321   ------>
  944    ------>

4) Complete as sucessões numéricas seguintes:

Exemplo: 50, 46, 42, 38, 34, 30, 26, 22,  ...

a) 50, 45, .... , .... , .... ,....
b) 50, 11, .... , .... , .... ,....
c) 80,72, .... , .... , .... ,....
d) 108,96, .... , .... , .... ,....

5) Efetue as subtrações:

a)196 – 74 = 
b)937 – 89 = 
c)4.800 – 2.934 =
d)1.301.002 – 875.037 =

6)      Em uma subtração, o subtraendo é o 165 e o resto 428. Qual é o minuendo?

7)      Qual é p número que somando a 647 é igual a 1.206?
 

8)      De 98.278 subtraia 62.574. Tire a prova.

9)  Efetue mentalmente e mostre como resolveu e depois demonstre no caderno e mostre ao professor:

a) 7 x 1 =
b)810 x 1 =
c)8 x 10=
d)72x10=
e)9 x 100=
f) 81x 100000 =
 

10)  Complete:

a) Um produto é sempre uma adição................. iguais.

b) O produto de vários fatores é zero, quando pelo menos um de seus fatores for ..............

Obrigado pela sua presença virtual e fique em casa ! Deus abencoe a todos by Professor Marcio Andre

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ESCOLA E.E.GONÇALVES DIAS

PRODUTO CARTESIANO

PROFº MARCIO ANDRE

O produto cartesiano de dois conjuntos A e B, escrito A x B, é o conjunto formado por todos os pares ordenados (x, y), em que o primeiro elemento a pertence a A e o segundo elemento b pertence a B.

Se A = {1, 2} e B = {0, 1, 3}, então: A X B = {(1, 0), (1, 1), (1, 3), (2, 0), (2, 1), (2, 3)}

O conjunto A x B tem 2 x 3 = 6 elementos.

Em geral, se A tem a elementos e B tem b elementos, A x B tem a x b elementos, isto é:

se n(A) = a e n(B) = b, temos que n(A x B) = a x b.

É importante salientar que os pares ordenados recebem estes nomes por se constituírem de 2 elementos em que é fundamental a ordem na qual se apresentam.

No exemplo, o par (1, 0) pertence a A x B. Mas o mesmo não acontece com o par (0, 1), que pertenceria ao produto B x A.

É por isso que se afirma que o produto cartesiano não tem a propriedade comutativa. Ele pode ser representado de várias formas:

→ Com um diagrama de flechas.

→ Com um diagrama cartesiano.

→ Com um diagrama em árvore.

As propriedades do produto cartesiano são as seguintes:

→ Propriedade associativa: (A x B) x C = A x (B x C) = A x B x C

→ A x Ø = Ø

→ A x B = Ø se, e somente se, A = Ø ou B = Ø

→ Se C ≠ Ø e A x C = B x C, então: A = B

Exemplos:

1) Se A = {6, 11} e B = {-2, 0, 7}, então A ´ B = {(6, -2), (6, 0), (6, 7), (11, -2), (11, 0), (11, 7)} 

2) Se A = {1, 3, 5} e B = {b, c}, então A ´ B = {(1, b), (1, c), (3, b), (3, c), (5, b), (5, c)} 

3) Se A = {x Î Å | 2 £ x £ 5} e B = {1, 4}, então A ´ B = {(x, 1), (x, 4) | x Î A}

EQUAÇÃO DO 2º GRAU - 9º ANO

821/822/823/824 - E.E.CECILIA PINTO

PROFº MÁRCIO ANDRÉ

Uma equação é uma expressão matemática que possui em sua composição incógnitas, coeficientes, expoentes e um sinal de igualdade. As equações são caracterizadas de acordo com o maior expoente de uma das incógnitas. Veja:

2x + 1 = 0, o expoente da incógnita x é igual a 1. Dessa forma, essa equação é classificada como do 1º grau.

2x² + 2x + 6 = 0, temos duas incógnitas x nessa equação, em que uma delas possui o maior expoente, determinado por 2. Essa equação é classificada como do 2º grau.

x³ – x² + 2x – 4 = 0, nesse caso temos três incógnitas x, em que o maior expoente igual a 3 determina que a equação é classificada como do 3º grau.

Cada modelo de equação possui uma forma de resolução. Trabalharemos a forma de resolução de uma equação do 2º grau, utilizando o método de Bhaskara. Determinar a solução de uma equação é o mesmo que descobrir suas raízes, isto é, o valor ou os valores que satisfazem a equação. Por exemplo, as raízes da equação do 2º grau x² – 10x + 24 = 0 são x = 4 ou x = 6, pois:

Substituindo x = 4 na equação, temos:

x² – 10x + 24 = 0
4² – 10 * 4 + 24 = 0
16 – 40 + 24 = 0
–24 + 24 = 0
0 = 0 (verdadeiro)

Substituindo x = 6 na equação, temos:

x² – 10x + 24 = 0
6² – 10 * 6 + 24 = 0
36 – 60 + 24 = 0
– 24 + 24 = 0
0 = 0 (verdadeiro)

Podemos verificar que os dois valores satisfazem a equação. Mas como determinarmos os valores que tornam a equação uma sentença verdadeira? É sobre essa forma de determinar os valores desconhecidos que abordaremos a seguir.

Vamos determinar pelo método resolutivo de Bhaskara os valores da seguinte equação do 2º grau: x² – 2x – 3 = 0.

Uma equação do 2º grau possui a seguinte lei de formação ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são os coeficientes da equação. Portanto, os coeficientes da equação x² – 2x – 3 = 0 são a = 1, b = –2 e c = –3.

Na fórmula de Bhaskara utilizaremos somente os coeficientes. Veja:

1º passo: determinar o valor do discriminante ou delta (?)

∆ = b² – 4 * a * c
∆ = (–2)² – 4 * 1 * (–3)
∆ = 4 + 12
∆ = 16

2º passo

Os resultados são x’ = 3 e x” = –1.

Exemplo 2

Determinar a solução da seguinte equação do 2º grau: x² + 8x + 16 = 0.

Os coeficientes são:
a = 1
b = 8
c = 16

∆ = b² – 4 * a * c
∆ = 8² – 4 * 1 * 16
∆ = 64 – 64
∆ = 0

No exemplo 2 devemos observar que o valor do discriminante é igual a zero. Nesses casos, a equação possuirá somente uma solução ou raiz única.

Exemplo 3

Calcule o conjunto solução da equação 10x² + 6x + 10 = 0, considerada de 2º grau.

∆ = b² – 4 * a * c
∆ = 6² – 4 * 10 * 10
∆ = 36 – 400
∆ = –364

Nas resoluções em que o valor do discriminante é menor que zero, isto é, o número seja negativo, a equação não possui raízes reais.

POLINÔMIOS - 8º ANO - 723 (E.E.CECILIA PINTO) - 
PROFESSOR MARCIO ANDRE

Um pouco de história

A grande maioria das pessoas que estão em processo de aprendizagem em matemática sempre buscam aplicações imediatas para os conteúdos. Não que esse deva ser um caminho único a ser seguido, pelo contrário, a compreensão de seu valor abstrato, perpassante do território da realidade, é indubitavelmente importante. Faço aqui um comparativo entre duas matemáticas, que por mais que sejam admiráveis, tem seus campos estudados por pesquisadores diferentes. É sabido que os matemáticos reconhecem a existência dessas duas matemáticas, porém dificilmente dominam as duas simultânea e profundamente.

Falo da matemática utilitária e da matemática abstrata. Enquanto a primeira se relaciona com as questões diárias, os problemas, as demandas, ou seja, questões atuais que requerem soluções imediatas, a outra se refere ao pensamento abstrato, o conhecimento pensado e criado no campo da imaginação, do mundo teórico. É bom frisar que a matemática utilitária não se relaciona apenas com questões práticas, mas também a teorias abstratas que reflitam ao pensamento moderno decorrente da realidade vigente.

O filósofo grego Platão diferenciava a matemática utilitária, importante para comerciantes e artesãos, da matemática abstrata, destinada a elite. Um representante dessa elite foi Alexandre da Macedônia, também conhecido por Alexandre o Grande, que teve como seu preceptor Aristóteles. Mas foi no século III a.C. que surgiu o matemático Arquimedes de Siracusa, esse talvez tenha sido o primeiro a desenvolver com competência as duas matemáticas da qual estamos nos referindo.

Para mais informações sobre a história de monômios e polinômios, leia o artigo Monômios.

Ocorrência de polinômios

Perímetros de figuras planas

Cálculo de distâncias

Cálculo de áreas

• Todo monômio é considerado polinômio;
• Os monômios integrantes de um polinômio são chamados termos do polinômio;
• 5x² → é um polinômio de um único termo (monômio);
• 2x – y → é um polinômio de dois termos: 2x e - y.
• 
  

Redução de Polinômios

Em muitos casos nos deparamos com representações polinomiais extensivas que podem ser reduzidas por meio das ideias relativas à adição e/ou subtração de monômios[1]. Para que a redução seja possível é necessária à existência de monômios semelhantes na expressão.

Observações:

De acordo com a quantidade de termos resultantes das reduções polinomiais ou até mesmo da representação inicial dos polinômios, podemos classifica-los das seguintes formas:

• monômio, quando há apenas um termo;
• binômio, quando há dois termos;
• trinômio, quando há três termos;
• acima de três termos, não há nome particular, sendo chamado apenas polinômio.
• 
  

Grau de um polinômio

O grau de um polinômio reduzido, não nulo, é dado em função de seu termo de maior grau.

Da mesma forma que nos monômios, dado um polinômio reduzido, podemos estabelecer o seu grau em relação a uma de suas variáveis.

• 8m³n + m⁴n → esse polinômio é do 4º grau em relação a variável m e do 1º grau em relação à n.
• x⁸y⁵ + x¹⁰y² → esse é um polinômio do 10º grau em relação a variável x e do 5º grau em relação 
• à y.

Polinômio com uma só variável

A compreensão desse tópico é muito importante para estudos futuros a exemplo das funções. Nos casos abaixo dizemos que são polinômios na incógnita x.

2x – 7                           x² + x + 3

Esse tipo de polinômio costuma-se ser escrito de forma decrescente, ou seja, do termo de maior grau ao termo de menor grau. Quando falta uma ou mais potências na variável “x” dizemos ser um polinômio incompleto.

7x³ + 2x + 3                          x² + 3

• 7x³ + 2x + 3 é incompleto, pois poderia ser escrito na forma 7x³ + 0x² + 2x + 3;
• x² + 3 é incompleto, pois poderia ser escrito na forma x² + 0x + 3.

Adição de polinômios

A adição de polinômios segue os critérios da redução, obedecendo às propriedades dos monômios no que se refere a termos semelhantes. Devemos sempre agrupar os termos semelhantes e realizar suas adições. Acompanhem:

Multiplicação de um monômio por um polinômio

Para desenvolver o produto de um monômio por um polinômio é primordial o conhecimento sobre a propriedade distributiva da multiplicação, pois esta multiplicação é feita multiplicando-se o monômio por cada termo do polinômio. Vejam nos exemplos:

Multiplicação de um polinômio por outro polinômio

Da mesma forma que o caso anterior, a multiplicação de um polinômio por outro polinômio é feita utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, isto é, deveremos multiplicar cada termo do primeiro polinômio por cada termo do segundo.

Divisão de um polinômio por um monômio

O quociente de um polinômio por um monômio é dado através da divisão de cada termo do polinômio pelo monômio, desde que este não seja nulo. Para isso deveremos conhecer bem as propriedades da potenciação.

(10x⁴y⁶ + x³y⁴ + x²y²) : (x²y)

10x⁴y⁶ : x²y = 10x²y⁵; x³y⁴ : x²y = xy³ e x²y² : x²y = y

Ou seja,

(10x⁴y⁶ + x³y⁴ + x²y²) : (x²y) = 10x²y⁵ + xy³ + y.

Divisão de um polinômio por outro polinômio

A divisão de polinômios em uma mesma variável “x” é muito semelhante ao algoritmo de divisão abordado nas séries iniciais.

CONJUNTOS - 1º BIMESTRE

Conjuntos

Conjunto é um conceito primitivo desenvolvido pelo matemático George Cantor. A partir dele se desenvolveu diversos outros estudos matemáticos.

Elementos de um conjunto e suas representações

Na Matemática existem alguns conceitos que não se definem. Eles constituem a base de todas as outras definições que são estudadas em Matemática. A exemplo disso, há a reta, o ponto e o plano. Você consegue definir um ponto? Um ponto não precisa de uma definição, mas a partir dele há todo o estudo da Geometria. Semelhantemente acontece com os “Conjuntos”, um conceito matemático primitivo que não apresenta definição.

Ao questionar qualquer criança a respeito do que é um conjunto, ela pode ter dúvidas para responder a essa pergunta, mas provavelmente não terá em mente um exemplo de conjunto. Por exemplo, um pote de doces pode caracterizar um conjunto de balas ou ainda uma banda pode ser descrita como um conjunto de músicos. Da mesma maneira, pode-se dizer que os números {0, 2, 4, 6, 8, 10…} formam um conjunto de números pares.

No final do século XIX, o matemático George Cantor (1845-1918) deu início ao estudo da Teoria dos Conjuntos. Um conjunto pode ser considerado bem definido quando é possível identificar os seus componentes. No exemplo anterior, poderíamos dizer que o número 20 faz parte do conjunto? Vamos analisar esse elemento: o número 20 é par? Sim, então o número 20 faz parte do conjunto dos números pares. Podemos simplificar a linguagem chamando o conjunto dos números pares de P. Então:

P = {conjunto dos números pares} ⇒ P= {0, 2, 4, 6, 8, 10...}

Podemos ainda afirmar que o número 20 pertence a esse conjunto da seguinte forma:

20 € P

Tente agora imaginar um conjunto formado apenas pelos múltiplos de 5, vamos chamá-lo de Q. Temos, então:

Q = {0, 5, 10, 15...}

Nesse caso, o 20 pertence ao conjunto Q? Ele é múltiplo de 5? Sim, pois 4*5=20, então 20 é múltiplo de 5 e, portanto, pertence a Q. Mas existem outros números que pertencem ao conjunto dos números pares e dos múltiplos de 5 simultaneamente. Podemos melhor representá-los através do Diagrama de Venn, como na imagem abaixo:

Na parte roxa estão representados os números que fazem parte apenas do conjunto P; na seção verde, há os que fazem parte apenas do conjunto Q; e, na parte laranja, estão os números que fazem parte tanto do conjunto P quanto do Q. Dizemos que os números 0, 10 e 20 pertencem à intersecção dos conjuntos P e Q, isto é,{0,10,20} € P ᴨ Q. Você pode aprender mais sobre essas e outras relações nos links abaixo ou na seção de Conjuntos Numéricos.

Por Amanda Gonçalves
Graduada em Matemática

PROGRESSÃO GEOMÁTRICA - P.G.

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA - P.G.

Progressões Geométricas (PG) também são sucessões de números (como a PA). A diferença é que ao invés de o termo da frente ter um valor acrescido (somado) em relação ao de trás, este terá um valor multiplicado (chamado de razão).
Vamos ver um exemplo: escolhemos um termo qualquer para ser o primeiro. Pode ser 5. Para razão, escolhemos 3. Pronto, então a PG seria assim:

a1=5	agora para achar o a2 devemos simplesmente multiplicar o primeiro termo, que é 5, pela razão, que é 3;
a2=5*3=15	para achar o próximo termo, multiplicamos novamente pela razão;
a3=15*3=45	e assim sucessivamente...
a4=45*3=135
a5=135*3=405

Este quadro nos dá a PG:

(5, 15, 45, 135, 405...)

Note que esta PG esta crescendo, pois qualquer número multiplicado por um número maior que 1 aumenta. Esta, então, se chama PG crescente. Mas e se a nossa razão fosse menor que 1, mas maior que 0 (0<q<1), por exemplo, 1/2.

Se isto ocorrer, os termos desta PG irão diminuir cada vez mais, chegando bem perto de 0 (zero). Esta, então, se chama PG decrescente.

Estes nome (PG crescente de decrescente) não são muito usados. O que usamos mais é chamar uma PG de finita ou infinita. Quando a PG tem um final, ou seja, um último termo, chamamos de PG finita. Se não tiver um final, ou seja, nenhum último termo, é chamada de PG infinita.

ESTUDO DE POLIEDROS - GEOMETRIA ESPACIAL

POLIEDROS

As figuras geométricas espaciais também recebem o nome de sólidos geométricos, que são divididos em: poliedros e corpos redondos. Vamos abordar as definições e propriedades dos poliedros. 

Poliedros são figuras geométricas formadas por três elementos básicos: vértices, arestas e faces. Um poliedro é considerado regular quando suas faces são polígonos regulares e congruentes.



Dentre os poliedros existentes, existem alguns considerados Poliedros de Platão, pois todas as faces possuem o mesmo número de arestas, todos os ângulos poliédricos possuem o mesmo número de arestas e se enquadram na relação de Euler. Os Poliedros considerados de Platão são:




Tetraedro, Hexaedro (cubo), Octaedro, Dodecaedro, Icosaedro. 
A fórmula de Euler está atribuída à relação de dependência entre os elementos de um poliedro. A expressão matemática desenvolvida por Leonhard Euler, matemático suíço, é a seguinte: V – A + F = 2. Onde:

V = vértice
A = arestas
F = Faces 

Essa expressão determina o número de faces, arestas e vértices de qualquer poliedro. 

Por volta do século VI antes de Cristo, o filósofo Platão estudou os poliedros platônicos relacionando-os aos elementos da natureza. Veja a associação feita por ele:

Tetraedro: fogo
Hexaedro (cubo): terra
Octaedro: ar
Icosaedro: água
Dodecaedro: universo


Além dos poliedros de Platão, os sólidos geométricos como: prismas, pirâmides, paralelepípedos, blocos retangulares e quadrangulares são considerados poliedros. 

Para conhecer o número de faces, arestas e vértices do prisma vamos relacionar com o polígono da base.

    Exemplo: prisma pentagonal. O polígono da base tem 5 lados, então:

     N.º de faces: 5 + 2 = 7

     N.º de arestas: 5 ´ 3 = 15

     N.º de vértices: 5 x 2 = 10

Sequências

Geralmente quando queremos determinar certos elementos de um conjunto, ordenamos esses elementos seguindo um determinado padrão. Dizemos que esse conjunto corresponde a uma sequencia ou sucessão. Elementos de uma sequência podem ser de vários tipos. Veremos alguns exemplos propostos  a seguir:

• A relação de alunos do sexo masculino de uma determinada turma do CCA escritos em ordem alfabética: (Deola, Marcio, Marcos, Kleber, Valdivia,...,Victor).
• Anos em que aconteceram os jogos panamericanos no período de 1991 a 2007: (1991, 1995, 1999, 2003, 2007)
• Sequência dos números primos: (2, 3, 5, 7, 11, 13, ...)

Cada um desses elementos dos conjuntos que chamamos de sequência ou sucessões é denominado termo. Na sequência que anteriormente dizemos ser uma escalação de um time de futebol, Deola é o primeiro termo, Marcio o segundo termo, e assim por diante. De um modo geral , a representação dos termos de uma sequência é dada por uma letra e um índice que indica a posição do termo na sequência.
O primeiro termo da sequência, por exemplo, pode aparecer indicado como A1, O segundo termo por A2, o terceiro termo por A3 e assim sucessivamente. Além dessas definições de sequências indicamos também o n-ésimo termo conhecido também  pela notação definida An. O elemento An (termo geral) pode representar qualquer termo da sequência assim quando formos nos referir por exemplo ao 15° termo da sequência, basta indicarmos por An=A15.
Indicamos também por An qualquer elemento que queremos tomar, pois An é conhecido principalmente por ser um termo de ordem n. A representação de uma sequência dada por definição é : (A1, A2, A3, A4, ..., An).
Se uma sequência qualquer possui o último termo dizemos que ela é uma sequência finita. Se essa sequência não possui o último termo, dizemos que é infinita. Veja os exemplos a seguir:

Sequência finitas

Números primos entre 2 e 29 (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29);

 Posição relativa de times de futebol da primeira divisão do futebol brasileiro (1°, 2°, 3°, 4°, 5°, ..., 20°).

As vogais: {a, e, i, o, u}

Sequências infinitas

Números naturais (0, 1, 2, 3, 4, 5, ...); O conjunto entre todos os números primos (2, 3, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, ...); O conjunto de todos os números pares (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ...).

As sequências são os  pré requisitos essenciais para compreendermos o estudo das progressões geométricas eprogressões aritméticas, conhecidas usualmente com PA e PG. As progressões são sequências numéricas com algumas propriedades específicas e com alguns tratamentos particulares, a identificação e o conhecimento sobre o assunto de sequências e sucessões é uma ferramenta de grande auxílio no estudo de progressões.

Para definirmos o que é uma sequência dizemos que é todo conjunto de elementos numéricos ou não que são colocados em uma certa ordem.

Bibliografia:
Gelson Iezzi-Matemática vol único-Ensino médio.
Manoel Paiva-Matemática vol único-Ensino médio.
Dante-Matemática vol único-Ensino médio.

GEOMETRIA 

INTRODUÇÃO À GEOMETRIA

PONTO, RETA E PLANO

Você já tem idéia intuitiva sobre ponto, reta e plano

Assim:

== Um furo de agulha num papel dá idéia de ponto.
== Uma corda bem esticada dá idéia de reta.
== O quadro-negro da sala de aula dá idéia de plano.

Os ponto, a reta e o plano são conceitos primitivos no estudo da Geometria, isto é, não possuem definição.

FIGURA GEOMÉTRICA

== Toda figura geométrica é um conjunto de pontos.

== Figura geométrica plana é uma figura em que todos os seus pontos estão num mesmo plano

EXERCÍCIOS

1) Quais são os elementos fundamenteais da geometria?

2) Que idéia (ponto,reta ou plano) você tem quando observa:

a) A cabeça de um alfinete.
b) O piso de uma sala de aula
c) Um grão de areia .
d) Um campo de futebol.
e) o encontro de duas paredes.
f) uma corda de violão bem esicada.

3) Responda:

a) Quantos pontos podem marcar num plano?
b) Quantas retas podem traçar num plano?
c) Por dois pontos distintos quantas retas podem traçar?

4) Quais das afirmações abaixo são verdadeiras?

a) três pontos podem pertencer a uma mesma reta.
b) três pontos distintos são sempre colineares.
c) A resta é um conjunto de dois pontos.
d) Por dois pontos distintos passa uma só reta.
e) Figura geométrica é qualquer conjunto não-vazio de pontos.

5) Observe a figura e responda:

a) Quais dos pontos pertencem à reta r?

b) Quais dos pontos pertencem à reta s?

c) Quais dos pontos pertencem à retas r e s?

 6) Observe e responda:

a) Quais os pontos que pertencem à reta r?

b) Os pontos P, M e N são colineares?

c) Os pontos P, M e S pertencem à reta r?

d) Os pontos P, M e S são colineares?

7) Observe a figura e complete no seu caderno:

a) Os pontos A,F e _______são colineares.

b) Os pontos E,F e ________são colineares.

c) Os pontos C,_____e E são colineares.

d) Os pontos _____B, e C são colineares.