ESCOLA E.E.GONÇALVES DIAS

PRODUTO CARTESIANO

PROFº MARCIO ANDRE

O produto cartesiano de dois conjuntos A e B, escrito A x B, é o conjunto formado por todos os pares ordenados (x, y), em que o primeiro elemento a pertence a A e o segundo elemento b pertence a B.

Se A = {1, 2} e B = {0, 1, 3}, então: A X B = {(1, 0), (1, 1), (1, 3), (2, 0), (2, 1), (2, 3)}

O conjunto A x B tem 2 x 3 = 6 elementos.

Em geral, se A tem a elementos e B tem b elementos, A x B tem a x b elementos, isto é:

se n(A) = a e n(B) = b, temos que n(A x B) = a x b.

É importante salientar que os pares ordenados recebem estes nomes por se constituírem de 2 elementos em que é fundamental a ordem na qual se apresentam.

No exemplo, o par (1, 0) pertence a A x B. Mas o mesmo não acontece com o par (0, 1), que pertenceria ao produto B x A.

É por isso que se afirma que o produto cartesiano não tem a propriedade comutativa. Ele pode ser representado de várias formas:

→ Com um diagrama de flechas.

→ Com um diagrama cartesiano.

→ Com um diagrama em árvore.

As propriedades do produto cartesiano são as seguintes:

→ Propriedade associativa: (A x B) x C = A x (B x C) = A x B x C

→ A x Ø = Ø

→ A x B = Ø se, e somente se, A = Ø ou B = Ø

→ Se C ≠ Ø e A x C = B x C, então: A = B

Exemplos:

1) Se A = {6, 11} e B = {-2, 0, 7}, então A ´ B = {(6, -2), (6, 0), (6, 7), (11, -2), (11, 0), (11, 7)} 

2) Se A = {1, 3, 5} e B = {b, c}, então A ´ B = {(1, b), (1, c), (3, b), (3, c), (5, b), (5, c)} 

3) Se A = {x Î Å | 2 £ x £ 5} e B = {1, 4}, então A ´ B = {(x, 1), (x, 4) | x Î A}