Produto Cartesiano e Relação Binária

Quando estudamos o plano cartesiano vimos também o conceito de par ordenado. Agora com base nestes conceitos estudaremos o produto cartesiano.

O produto cartesiano de dois conjuntos A e B são todos os pares ordenados (x, y), sendo que x pertence ao conjunto A e y pertence ao conjunto B.

Vamos tomar como exemplo os seguintes conjuntos A e B:

A = {1, 2, 3}

B = {2, 4, 6}

O produto cartesiano de A por B, representado por A x B é igual a:

A x B = {(1,2), (1,4), (1,6), (2,2), (2,4), (2,6), (3,2), (3,4), (3,6)}

Note que segundo a definição de produto cartesiano, todos os elementos de A x B são pares ordenados em que o primeiro elemento pertence ao conjunto A e o segundo ao conjunto B.

Representação em um Diagrama de Flechas

Também podemos representar A x B através de uma diagrama de flechas.

Repare que de cada elemento de A parte uma seta para cada elemento de B:

No total são 9 flechas, uma para cada par ordenado resultante do produto cartesiano de A por B.

Representação no Plano Cartesiano

Uma outra forma de representação é através do sistema de coordenadas cartesianas.

Veja que graficamente localizamos no plano cartesiano todos os  nove elementos de A x B:

Os elementos de A e B estão representados respectivamente nos eixos x e y.

Finalmente também podemos representar A x B por:

A x B = { (x,y) ϵ A x B | x ϵ A e y ϵ B }

 

A cartesiano B é o conjunto dos pares ordenados (x, y), tal que x pertence a A e y pertence a B.

A relação ou relação binária entre dois conjuntos A e B é qualquer subconjunto de A x B

Sejam os conjuntos A e B:

A = { 1, 2, 3 }

B = { 2, 4, 6 }

O produto cartesiano A x B, isto é, A x B é igual a:

A x B = {(1,2), (1,4), (1,6), (2,2), (2,4), (2,6), (3,2), (3,4), (3,6)}

Se tomarmos alguns subconjuntos deste conjunto de pares ordenados, teremos algumas relações de A em B:

 

 R­₁     = { (1,6) }

 R­₂     = { (1,6), (2,4) }
 R­₃     = { (1,2), (2,4), (3,6) }

R₁, R₂ e R₃ são relações de A em B, pois seus elementos são pares ordenados (x, y), com x pertencente a A e y pertencente a B.

Representação em um Diagrama de Flechas

Assim como fizemos no caso do produto cartesiano, também podemos representar uma relação através de uma diagrama de flechas, afinal de contas uma relação é um subconjunto de um produto cartesiano.

A relação R₂ vista acima pode ser representada pelo diagrama de setas, ou diagrama de flechas, ao lado:

Já que R­₂ = { (1,6), (2,4) }, temos apenas duas setas partindo do conjunto A, chamado de conjunto de partida e chegando no conjunto B, chamado de conjunto de chegada.

Representação no Plano Cartesiano

Também podemos representar uma relação no plano cartesiano. Para isto basta localizarmos cada um dos seus elementos no plano cartesiano como no gráfico ao lado, já que tratam-se de pares ordenados.

Neste gráfico ainda estamos utilizando a relação R₂ como exemplo.

O primeiro elemento de R₂ se refere ao ponto (1, 6) do gráfico. O segundo elemento se refere ao ponto (2, 4).

Agora vamos tomar como exemplo a relação R₃, também podemos representá-la através de uma regra de associação ou lei de formação, para isto tomamos um par ordenado (x, y) de A x B através da regra de associação relacionarmos y a x através de uma equação.

Vejamos como fica tal representação da relação

 R­₃     = { (1,2), (2,4), (3,6) }

 R­₃     = { (x,y) ϵ A x B | y = 2x }

Segundo esta expressão, R₃ é um subconjunto de A x B formado por todos os seus pares ordenados onde, de acordo com a lei de formação, y é o dobro de x.