Exercícios - Número Inteiros Z

Exercícios - Matemática - 6ª série - Profº Márcio André

1 – Responda:

• a) Qual o oposto de um número positivo?

• b) Qual o oposto de um número negativo? 

2 – Considere os números – 20, – 5, 0, 5, 12, – 1, 8, 15. Qual o menor e o maior número?

3 – Coloque os números em ordem crescente

• a) 423, – 243, 234, – 324, – 432, 342, 243
• b) 5055, – 5005, 5505, 5005, – 5055, – 5505

4 – Um garoto faz o seguinte percurso sobre uma reta numérica: “A partir do zero, ele caminha cinco unidades no sentido positivo e em seguida anda sete unidades no sentido negativo.” Determine o ponto em que se encontra o garoto após esse percurso.

5 – Uma escola promoveu jogos esportivos cujos resultados estão descritos abaixo:

Carlos            3 pontos ganhos

Sílvio              8 pontos perdidos

Paulo              7 pontos ganhos

Mário              0 pontos

Coloque os nomes na ordem do melhor classificado para o pior.

6 – Considere as afirmações:

• I) Qualquer número negativo é menor do que 0 (zero).
• II) Qualquer número positivo é maior do que 0 (zero)
• III) Qualquer número positivo é maior do que qualquer número negativo.

Quais das afirmações são verdadeiras?

7 – Quais são os números inteiros compreendidos entre – 5 e + 4 ? 

8 – Calcule:

• a) + 10 + 2 =
• b) + 2 + 21 =
• c) + 5 + 18 =
• d) + 23 + 21 =
• e) + 12 + 34 =
• f) + 12 – 8 =
• g) + 15 – 6 =
• h) + 45 – 32 =
• i) + 56 – 34 =
• j) + 57 – 31 =
• k) – 32 + 25 =
• l) – 23 + 12 =
• m) – 15 + 13 =
• n) – 45 + 40 =
• o) – 35 + 27 =
• p) – 23 + 32 =
• q) – 32 + 53 =
• r) – 12 + 32 =
• s) – 11 + 40 =
• t) – 36 + 54 =
• u) – 5 – 9 =
• v) – 12 – 13 =
• w) – 23 – 10 =
• x) – 35 – 16 =
• y) – 51 – 21 =

9 – Calcule:

• a) ( + 12 ) + ( + 21 ) =
• b) ( + 13 ) + ( + 7 ) =
• c) ( + 23 ) + ( + 21) =
• d) ( – 12 ) + ( – 11 ) =
• e) ( – 23 ) + ( – 4 ) =
• f) ( – 21 ) + ( – 12 ) =
• g) ( + 10 ) + ( – 13 ) =
• h) ( + 21 ) + ( – 23 ) =
• i) ( + 40 ) + ( – 17 ) =

10 – Calcule x – y:

• a) x = + 6  e  y = + 5
• b) x = – 7  e  y = + 8
• c) x = – 9  e  y = – 5
• d) x = + 12  e  y = – 15

11 – Uma empresa deve R$ 5400,00 para seus funcionários, mas irá receber R$ 7300,00 de outra empresa. Represente essa situação com apenas um número inteiro?

12 – Para fazer um bolo, Renata gastou R$ 27,00. Ela vendeu o bolo por R$ 70,00. Qual foi o seu lucro?

13 – Resolva:

• a) ( + 3 ) + ( – 2 ) + ( – 5 ) =
• b) ( – 2 ) – ( + 1 ) – ( + 5 ) =
• c) ( + 4 ) + ( – 2 ) – ( + 3 ) =
• d) ( + 5 ) – ( – 3 ) – ( – 1 ) =
• e) ( + 4 ) + ( – 6 ) – ( + 7 ) – ( – 6 ) + ( + 7 ) =
• f) ( – 3 ) – ( – 5 ) + ( – 6 ) + ( + 8 ) – ( – 4 ) =

14 – Elimine os parênteses:

a)    + ( – 3 + 8 ) =

b)    – ( – 3 + 8 ) =

c)    + ( 5 – 6 ) =

d)    – ( – 3 – 1 ) =

e)    – ( – 6 + 4 – 1 ) =

f)     – 6 – ( – 3 + 2 ) =

g)    18 – ( – 5 – 2 – 3 ) =

h)   20 – ( – 6 + 8 ) – ( – 1 + 3 ) =

i)     – 32 – 1 – ( – 12 + 14 ) =

j)      7 + ( – 5 – 6 ) – ( – 9 + 3 ) =

15 – Um reservatório contém 500 litros de água e efetuamos, sucessivamente, as seguintes operações: 

• Retiramos 80 litros
• Colocamos 45 litros
• Colocamos 30 litros
• Retiramos 130 litros
• Retiramos 80 litros

Qual a quantidade de água que ficou no reservatório?

16 – Qual é o sinal de um produto:

 a) que tem dois números positivos?

 b) que tem dois números negativos?

 c) que tem um número positivo e outro negativo?

17 – Efetue as multiplicações:

a) ( + 5 ) . ( + 3 ) =

b) ( + 4 ) . ( – 5 ) =

c) ( – 8 ) . ( + 4 ) =

d) ( – 6 ) . ( – 7 ) =

e) ( – 2 ) . ( + 4 ) . ( + 3 ) . ( – 1 ) =

f) ( – 5 ) . ( – 6  ) . ( – 2 ) =

g) 2 . (- 3 ) . ( + 6 ) =

h) (- 3 ) . 5 . ( – 7 ) =

18 – Determine o sinal de cada produto:

a) +.+.+.+ =

b) -.-.-.- =

c) +.-.+.- =

d) +.+.-.+.-.- =

19 – Efetue as divisões:

a) ( + 15 ) : ( + 3 ) =

b) ( + 20 ) : ( – 4 ) =

c) ( – 35 ) : ( + 7 ) =

d) ( – 40 ) : ( – 5) =

e) (+  51 ) ( – 3 ) =

f) ( – 77 ) : ( + 11 ) =

g) 500 : ( – 25 ) =

h) ( – 750 ) : (-10) =

i) (-48) : (-6) =

j) (-28) : (+7) =

20) Efetue as potenciações:

a) -3 elevado a 4 =
b) -9 elevado a 2 =
c) +10 elevado a 2 =
d) -5 elevado a 4 =
e) -2 elevado a 7 =
f) -3 elevado a 4 =
g) -4 elevado a 2 =
h) +6 elevado a 3 =
i) -4 elevado a 0 =
j) -100 elevado a 1 =

Obs.: As turmas 621, 624 e 625 entregar numa folha de papel esta atividade na data da sua prova !

Produto Cartesiano e Relação Binária

Quando estudamos o plano cartesiano vimos também o conceito de par ordenado. Agora com base nestes conceitos estudaremos o produto cartesiano.

O produto cartesiano de dois conjuntos A e B são todos os pares ordenados (x, y), sendo que x pertence ao conjunto A e y pertence ao conjunto B.

Vamos tomar como exemplo os seguintes conjuntos A e B:

A = {1, 2, 3}

B = {2, 4, 6}

O produto cartesiano de A por B, representado por A x B é igual a:

A x B = {(1,2), (1,4), (1,6), (2,2), (2,4), (2,6), (3,2), (3,4), (3,6)}

Note que segundo a definição de produto cartesiano, todos os elementos de A x B são pares ordenados em que o primeiro elemento pertence ao conjunto A e o segundo ao conjunto B.

Representação em um Diagrama de Flechas

Também podemos representar A x B através de uma diagrama de flechas.

Repare que de cada elemento de A parte uma seta para cada elemento de B:

No total são 9 flechas, uma para cada par ordenado resultante do produto cartesiano de A por B.

Representação no Plano Cartesiano

Uma outra forma de representação é através do sistema de coordenadas cartesianas.

Veja que graficamente localizamos no plano cartesiano todos os  nove elementos de A x B:

Os elementos de A e B estão representados respectivamente nos eixos x e y.

Finalmente também podemos representar A x B por:

A x B = { (x,y) ϵ A x B | x ϵ A e y ϵ B }

 

A cartesiano B é o conjunto dos pares ordenados (x, y), tal que x pertence a A e y pertence a B.

A relação ou relação binária entre dois conjuntos A e B é qualquer subconjunto de A x B

Sejam os conjuntos A e B:

A = { 1, 2, 3 }

B = { 2, 4, 6 }

O produto cartesiano A x B, isto é, A x B é igual a:

A x B = {(1,2), (1,4), (1,6), (2,2), (2,4), (2,6), (3,2), (3,4), (3,6)}

Se tomarmos alguns subconjuntos deste conjunto de pares ordenados, teremos algumas relações de A em B:

 

 R­₁     = { (1,6) }

 R­₂     = { (1,6), (2,4) }
 R­₃     = { (1,2), (2,4), (3,6) }

R₁, R₂ e R₃ são relações de A em B, pois seus elementos são pares ordenados (x, y), com x pertencente a A e y pertencente a B.

Representação em um Diagrama de Flechas

Assim como fizemos no caso do produto cartesiano, também podemos representar uma relação através de uma diagrama de flechas, afinal de contas uma relação é um subconjunto de um produto cartesiano.

A relação R₂ vista acima pode ser representada pelo diagrama de setas, ou diagrama de flechas, ao lado:

Já que R­₂ = { (1,6), (2,4) }, temos apenas duas setas partindo do conjunto A, chamado de conjunto de partida e chegando no conjunto B, chamado de conjunto de chegada.

Representação no Plano Cartesiano

Também podemos representar uma relação no plano cartesiano. Para isto basta localizarmos cada um dos seus elementos no plano cartesiano como no gráfico ao lado, já que tratam-se de pares ordenados.

Neste gráfico ainda estamos utilizando a relação R₂ como exemplo.

O primeiro elemento de R₂ se refere ao ponto (1, 6) do gráfico. O segundo elemento se refere ao ponto (2, 4).

Agora vamos tomar como exemplo a relação R₃, também podemos representá-la através de uma regra de associação ou lei de formação, para isto tomamos um par ordenado (x, y) de A x B através da regra de associação relacionarmos y a x através de uma equação.

Vejamos como fica tal representação da relação

 R­₃     = { (1,2), (2,4), (3,6) }

 R­₃     = { (x,y) ϵ A x B | y = 2x }

Segundo esta expressão, R₃ é um subconjunto de A x B formado por todos os seus pares ordenados onde, de acordo com a lei de formação, y é o dobro de x.

Conjuntos Numéricos - 1º ano

Escola Estadual Professor Gabriel de Almeida Café
Professor: Márcio André
Turmas: 1º ano do Ensino Médio


Assunto: Conjuntos Numéricos

A história dos números está diretamente ligada à própria história do homem pela necessidade de dimensionar os fenômenos com os quais se relaciona.

Assim, as técnicas de contagens, medidas, e cálculos foram gradativamente impondo a necessidade de se criarem sistemas simbólicos que representassem a quantificação de grandezas e valores.

Os conjuntos numéricos são compostos por, números naturais, representados por N, números inteiros, representados por Z, números racionais, representados por Q, e números reais, representados por R, também há os conjuntos dos números irracionais, representados por I, e os conjunto dos números complexos, representados por C.

O conjunto dos números naturais,são compostos por N={0,1,2,3,4,...}, números inteiros que tem um sucessor, ou seja, o sucessor de 1 é 2, assim por diante infinitamente. Os números naturais são o modelo matemático necessário para efetuar uma contagem, o número (zero) 0, também faz parte dos números naturais, sendo que alguns estudiosos não consideram o zero como natural porque, historicamente , surgiu da necessidade de preencher as casa vazias na expressão de um número, ou seja, não como número, e sim como algarismo em um sistema de numeração posicional; podemos usar o símbolo (*) para indicar a exclusão do elemento 0 (zero), de qualquer conjunto numérico. Assim, para o conjunto dos naturais podemos escrever: 

N*={1,2,3,4,...}.

O conjunto dos números inteiros, veio após os números naturais, surgiu a necessidade de adicionar aos números naturais os negativos, portanto os números inteiros pode ser escrito por, infinito 

Z={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}. A necessidade de utilizar os números inteiros, veio com a necessidade de fazer a subtração de um número natural sendo seu resultado um número negativo.

É comum usar o símbolo (+) para a exclusão dos negativos e (-) para a exclusão dos positivos. Dessa maneira, podemos escrever alguns subconjuntos de Z:

Z₊ = {0,1,2,3,4,...} = N
Z₋ = {...,-3,-2,-1,0}
Z˟ = {...,-3,-2,-1,1,2,3,...}
Z˟₊ = {1,2,3,4,...}
Z˟₋ = {...,-4,-3,-2,-1}

Os conjunto dos números racionais, veio da divisão de dois números inteiros, sendo o resultado um número decimal finita ou periódica.
Por exemplo, ⅜ é número racional e é o mesmo que 0,375.

1/9 é numero racional e é o mesmo que 0.111111...

Observe que na divisão continuada do numerador p pelo denominador q, só podem ocorrer q restos diferentes, daí a periodicidade.
2/₇ = 0,285714285...
4/13 =0,307692307...

Efetue a divisão com vários números para constar.
Genericamente, podemos escrever que:

Q = {x | x = p/q ; p ͼ Z, q ͼ Z˟}
A lera Q vem da palavra quociente.

Note que todo número inteiro é também um número racional, pois pode ser expresso na forma p/1, (p ͼ Z). Logo Z ᴄ Q.

Admitem-se também as notações Q₊, Q₋, Q˟, para subconjunto de Q.

Os conjuntos dos número reais, são o modelo matemático para expressar as medidas. Formam um conjunto de números que podem ser representados por uma expressão decimal finita ou decimal infinita e periódica ou decimal infinita e não periódica, tem-se um número irracional.

Todo número racional é um número real. Portanto, Q ᴄ R.

Veja alguns exemplos de números reais que são irracionais:

Raiz quadrada de dois:

√2 = 1,4142135623730950488016887242097...

Pi:
ᴫ = 3,1415926535897932384626433832795...

Número de ouro:
(1+√5)/2 = 1,618033988749894848204...

Admitem-se também para os números reais as notações R˟,R+,R-, R˟-,e R˟+.

Em breve será colocado próximo assunto: Intervalos

Descobrindo medidas na Aldeia Kumarumã

Nosso trabalho tem como objetivo desenvolver no aluno indígena a construção do conhecimento de medidas e área. A turma é do 1º ano do Ensino Médio. Os alunos foram medir: comprimento da ponte principal da aldeia, tamanho de uma sala de aula, biblioteca, igreja, prato de fazer farinha, poço, cuias e casarão de reunião da comunidade ! Meu trabalho com está de indígenas GALIBI MARWORNO é voltado a geometria plana e medidas. Segue as fotos do trabalho de campo na Aldeia Kumarumã, na reserva UAÇÁ no extremo norte do município de Oiapoque, no Estado do Amapá !

Jogos Matemáticos na visão indígena

Falar de jogos matemáticos dentro da educação índigena é fazer entender ao indígena que brincando descobre-se matemática ludicamente fazendo que dentro do seu habit a matemática pode ser encarada sem fórmulas, sem regras, mas que no jogo criado de sua própria criatividade o mesmo consegue criar conceitos e desenvolver determinado assunto do conteúdo programático. Observe alguns jogos criados por alunos de 6ª serie, no ensino fundamental na Aldeia Estrela, no KM 70, uma hora antes do munícipio de Oiapoque, em que foi desenvolvido por alunos das seguintes etnias: KARIPUNA, PALIKUR e GALIBI MARWORNO

Aldeia Espírito Santo - Agosto/2010 - Estatística

Trabalho com uma turma de 8ª série, na Aldeia Espírito Santo, na reserva UAÇÁ, no extremo norte do Oiapoque - Amapá - Brasil. A turma fez uma pesquisa no centro de saúde da referida aldeia das doenças que afetaram a comunidade nesse período. Obrigado a todos meus alunos que aprenderam a idéia de pesquisa, coleta de dados para este trabalho estatístico desenvolvido no Ensino Fundamental !

Minha passagem pela Aldeia Santa Izabel

Aldeia Santa Izabel, na reserva UAÇÁ, no extremo norte do município Oiapoque - Amapá- Brasil