PROGRESSÃO GEOMÁTRICA - P.G.

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA - P.G.

Progressões Geométricas (PG) também são sucessões de números (como a PA). A diferença é que ao invés de o termo da frente ter um valor acrescido (somado) em relação ao de trás, este terá um valor multiplicado (chamado de razão).
Vamos ver um exemplo: escolhemos um termo qualquer para ser o primeiro. Pode ser 5. Para razão, escolhemos 3. Pronto, então a PG seria assim:

a1=5	agora para achar o a2 devemos simplesmente multiplicar o primeiro termo, que é 5, pela razão, que é 3;
a2=5*3=15	para achar o próximo termo, multiplicamos novamente pela razão;
a3=15*3=45	e assim sucessivamente...
a4=45*3=135
a5=135*3=405

Este quadro nos dá a PG:

(5, 15, 45, 135, 405...)

Note que esta PG esta crescendo, pois qualquer número multiplicado por um número maior que 1 aumenta. Esta, então, se chama PG crescente. Mas e se a nossa razão fosse menor que 1, mas maior que 0 (0<q<1), por exemplo, 1/2.

Se isto ocorrer, os termos desta PG irão diminuir cada vez mais, chegando bem perto de 0 (zero). Esta, então, se chama PG decrescente.

Estes nome (PG crescente de decrescente) não são muito usados. O que usamos mais é chamar uma PG de finita ou infinita. Quando a PG tem um final, ou seja, um último termo, chamamos de PG finita. Se não tiver um final, ou seja, nenhum último termo, é chamada de PG infinita.

ESTUDO DE POLIEDROS - GEOMETRIA ESPACIAL

POLIEDROS

As figuras geométricas espaciais também recebem o nome de sólidos geométricos, que são divididos em: poliedros e corpos redondos. Vamos abordar as definições e propriedades dos poliedros. 

Poliedros são figuras geométricas formadas por três elementos básicos: vértices, arestas e faces. Um poliedro é considerado regular quando suas faces são polígonos regulares e congruentes.



Dentre os poliedros existentes, existem alguns considerados Poliedros de Platão, pois todas as faces possuem o mesmo número de arestas, todos os ângulos poliédricos possuem o mesmo número de arestas e se enquadram na relação de Euler. Os Poliedros considerados de Platão são:




Tetraedro, Hexaedro (cubo), Octaedro, Dodecaedro, Icosaedro. 
A fórmula de Euler está atribuída à relação de dependência entre os elementos de um poliedro. A expressão matemática desenvolvida por Leonhard Euler, matemático suíço, é a seguinte: V – A + F = 2. Onde:

V = vértice
A = arestas
F = Faces 

Essa expressão determina o número de faces, arestas e vértices de qualquer poliedro. 

Por volta do século VI antes de Cristo, o filósofo Platão estudou os poliedros platônicos relacionando-os aos elementos da natureza. Veja a associação feita por ele:

Tetraedro: fogo
Hexaedro (cubo): terra
Octaedro: ar
Icosaedro: água
Dodecaedro: universo


Além dos poliedros de Platão, os sólidos geométricos como: prismas, pirâmides, paralelepípedos, blocos retangulares e quadrangulares são considerados poliedros. 

Para conhecer o número de faces, arestas e vértices do prisma vamos relacionar com o polígono da base.

    Exemplo: prisma pentagonal. O polígono da base tem 5 lados, então:

     N.º de faces: 5 + 2 = 7

     N.º de arestas: 5 ´ 3 = 15

     N.º de vértices: 5 x 2 = 10

Sequências

Geralmente quando queremos determinar certos elementos de um conjunto, ordenamos esses elementos seguindo um determinado padrão. Dizemos que esse conjunto corresponde a uma sequencia ou sucessão. Elementos de uma sequência podem ser de vários tipos. Veremos alguns exemplos propostos  a seguir:

• A relação de alunos do sexo masculino de uma determinada turma do CCA escritos em ordem alfabética: (Deola, Marcio, Marcos, Kleber, Valdivia,...,Victor).
• Anos em que aconteceram os jogos panamericanos no período de 1991 a 2007: (1991, 1995, 1999, 2003, 2007)
• Sequência dos números primos: (2, 3, 5, 7, 11, 13, ...)

Cada um desses elementos dos conjuntos que chamamos de sequência ou sucessões é denominado termo. Na sequência que anteriormente dizemos ser uma escalação de um time de futebol, Deola é o primeiro termo, Marcio o segundo termo, e assim por diante. De um modo geral , a representação dos termos de uma sequência é dada por uma letra e um índice que indica a posição do termo na sequência.
O primeiro termo da sequência, por exemplo, pode aparecer indicado como A1, O segundo termo por A2, o terceiro termo por A3 e assim sucessivamente. Além dessas definições de sequências indicamos também o n-ésimo termo conhecido também  pela notação definida An. O elemento An (termo geral) pode representar qualquer termo da sequência assim quando formos nos referir por exemplo ao 15° termo da sequência, basta indicarmos por An=A15.
Indicamos também por An qualquer elemento que queremos tomar, pois An é conhecido principalmente por ser um termo de ordem n. A representação de uma sequência dada por definição é : (A1, A2, A3, A4, ..., An).
Se uma sequência qualquer possui o último termo dizemos que ela é uma sequência finita. Se essa sequência não possui o último termo, dizemos que é infinita. Veja os exemplos a seguir:

Sequência finitas

Números primos entre 2 e 29 (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29);

 Posição relativa de times de futebol da primeira divisão do futebol brasileiro (1°, 2°, 3°, 4°, 5°, ..., 20°).

As vogais: {a, e, i, o, u}

Sequências infinitas

Números naturais (0, 1, 2, 3, 4, 5, ...); O conjunto entre todos os números primos (2, 3, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, ...); O conjunto de todos os números pares (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ...).

As sequências são os  pré requisitos essenciais para compreendermos o estudo das progressões geométricas eprogressões aritméticas, conhecidas usualmente com PA e PG. As progressões são sequências numéricas com algumas propriedades específicas e com alguns tratamentos particulares, a identificação e o conhecimento sobre o assunto de sequências e sucessões é uma ferramenta de grande auxílio no estudo de progressões.

Para definirmos o que é uma sequência dizemos que é todo conjunto de elementos numéricos ou não que são colocados em uma certa ordem.

Bibliografia:
Gelson Iezzi-Matemática vol único-Ensino médio.
Manoel Paiva-Matemática vol único-Ensino médio.
Dante-Matemática vol único-Ensino médio.

GEOMETRIA 

INTRODUÇÃO À GEOMETRIA

PONTO, RETA E PLANO

Você já tem idéia intuitiva sobre ponto, reta e plano

Assim:

== Um furo de agulha num papel dá idéia de ponto.
== Uma corda bem esticada dá idéia de reta.
== O quadro-negro da sala de aula dá idéia de plano.

Os ponto, a reta e o plano são conceitos primitivos no estudo da Geometria, isto é, não possuem definição.

FIGURA GEOMÉTRICA

== Toda figura geométrica é um conjunto de pontos.

== Figura geométrica plana é uma figura em que todos os seus pontos estão num mesmo plano

EXERCÍCIOS

1) Quais são os elementos fundamenteais da geometria?

2) Que idéia (ponto,reta ou plano) você tem quando observa:

a) A cabeça de um alfinete.
b) O piso de uma sala de aula
c) Um grão de areia .
d) Um campo de futebol.
e) o encontro de duas paredes.
f) uma corda de violão bem esicada.

3) Responda:

a) Quantos pontos podem marcar num plano?
b) Quantas retas podem traçar num plano?
c) Por dois pontos distintos quantas retas podem traçar?

4) Quais das afirmações abaixo são verdadeiras?

a) três pontos podem pertencer a uma mesma reta.
b) três pontos distintos são sempre colineares.
c) A resta é um conjunto de dois pontos.
d) Por dois pontos distintos passa uma só reta.
e) Figura geométrica é qualquer conjunto não-vazio de pontos.

5) Observe a figura e responda:

a) Quais dos pontos pertencem à reta r?

b) Quais dos pontos pertencem à reta s?

c) Quais dos pontos pertencem à retas r e s?

 6) Observe e responda:

a) Quais os pontos que pertencem à reta r?

b) Os pontos P, M e N são colineares?

c) Os pontos P, M e S pertencem à reta r?

d) Os pontos P, M e S são colineares?

7) Observe a figura e complete no seu caderno:

a) Os pontos A,F e _______são colineares.

b) Os pontos E,F e ________são colineares.

c) Os pontos C,_____e E são colineares.

d) Os pontos _____B, e C são colineares.