quarta-feira, 10 de setembro de 2014


EQUAÇÃO DO 2º GRAU - 9º ANO
821/822/823/824 - E.E.CECILIA PINTO
PROFº MÁRCIO ANDRÉ

Uma equação é uma expressão matemática que possui em sua composição incógnitas, coeficientes, expoentes e um sinal de igualdade. As equações são caracterizadas de acordo com o maior expoente de uma das incógnitas. Veja:
2x + 1 = 0, o expoente da incógnita x é igual a 1. Dessa forma, essa equação é classificada como do 1º grau.

2x² + 2x + 6 = 0, temos duas incógnitas x nessa equação, em que uma delas possui o maior expoente, determinado por 2. Essa equação é classificada como do 2º grau.
x³ – x² + 2x – 4 = 0, nesse caso temos três incógnitas x, em que o maior expoente igual a 3 determina que a equação é classificada como do 3º grau.
Cada modelo de equação possui uma forma de resolução. Trabalharemos a forma de resolução de uma equação do 2º grau, utilizando o método de Bhaskara. Determinar a solução de uma equação é o mesmo que descobrir suas raízes, isto é, o valor ou os valores que satisfazem a equação. Por exemplo, as raízes da equação do 2º grau x² – 10x + 24 = 0 são x = 4 ou x = 6, pois:
Substituindo x = 4 na equação, temos:
x² – 10x + 24 = 0
4² – 10 * 4 + 24 = 0
16 – 40 + 24 = 0
–24 + 24 = 0
0 = 0 (verdadeiro)
Substituindo x = 6 na equação, temos:
x² – 10x + 24 = 0
6² – 10 * 6 + 24 = 0
36 – 60 + 24 = 0
– 24 + 24 = 0
0 = 0 (verdadeiro)
Podemos verificar que os dois valores satisfazem a equação. Mas como determinarmos os valores que tornam a equação uma sentença verdadeira? É sobre essa forma de determinar os valores desconhecidos que abordaremos a seguir.
Vamos determinar pelo método resolutivo de Bhaskara os valores da seguinte equação do 2º grau: x² – 2x – 3 = 0.
Uma equação do 2º grau possui a seguinte lei de formação ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são os coeficientes da equação. Portanto, os coeficientes da equação x² – 2x – 3 = 0 são a = 1, b = –2 e c = –3.
Na fórmula de Bhaskara utilizaremos somente os coeficientes. Veja:
1º passo: determinar o valor do discriminante ou delta (?)
 = b² – 4 * a * c
 = (–2)² – 4 * 1 * (–3)
 = 4 + 12
 = 16
2º passo
Os resultados são x’ = 3 e x” = –1.
Exemplo 2
Determinar a solução da seguinte equação do 2º grau: x² + 8x + 16 = 0.
Os coeficientes são:
a = 1
b = 8
c = 16
 = b² – 4 * a * c
 = 8² – 4 * 1 * 16
 = 64 – 64
 = 0

No exemplo 2 devemos observar que o valor do discriminante é igual a zero. Nesses casos, a equação possuirá somente uma solução ou raiz única.
Exemplo 3
Calcule o conjunto solução da equação 10x² + 6x + 10 = 0, considerada de 2º grau.
 = b² – 4 * a * c
 = 6² – 4 * 10 * 10
 = 36 – 400
 = –364

Nas resoluções em que o valor do discriminante é menor que zero, isto é, o número seja negativo, a equação não possui raízes reais.

POLINÔMIOS - 8º ANO - 723 (E.E.CECILIA PINTO) - 
PROFESSOR MARCIO ANDRE

Um pouco de história


A grande maioria das pessoas que estão em processo de aprendizagem em matemática sempre buscam aplicações imediatas para os conteúdos. Não que esse deva ser um caminho único a ser seguido, pelo contrário, a compreensão de seu valor abstrato, perpassante do território da realidade, é indubitavelmente importante. Faço aqui um comparativo entre duas matemáticas, que por mais que sejam admiráveis, tem seus campos estudados por pesquisadores diferentes. É sabido que os matemáticos reconhecem a existência dessas duas matemáticas, porém dificilmente dominam as duas simultânea e profundamente.
Falo da matemática utilitária e da matemática abstrata. Enquanto a primeira se relaciona com as questões diárias, os problemas, as demandas, ou seja, questões atuais que requerem soluções imediatas, a outra se refere ao pensamento abstrato, o conhecimento pensado e criado no campo da imaginação, do mundo teórico. É bom frisar que a matemática utilitária não se relaciona apenas com questões práticas, mas também a teorias abstratas que reflitam ao pensamento moderno decorrente da realidade vigente.
O filósofo grego Platão diferenciava a matemática utilitária, importante para comerciantes e artesãos, da matemática abstrata, destinada a elite. Um representante dessa elite foi Alexandre da Macedônia, também conhecido por Alexandre o Grande, que teve como seu preceptor Aristóteles. Mas foi no século III a.C. que surgiu o matemático Arquimedes de Siracusa, esse talvez tenha sido o primeiro a desenvolver com competência as duas matemáticas da qual estamos nos referindo.
Para mais informações sobre a história de monômios e polinômios, leia o artigo Monômios.

Ocorrência de polinômios


Perímetros de figuras planas

Cálculo de distâncias

Cálculo de áreas

  • Todo monômio é considerado polinômio;
  • Os monômios integrantes de um polinômio são chamados termos do polinômio;
  • 5x2 → é um polinômio de um único termo (monômio);
  • 2x – y → é um polinômio de dois termos: 2x e - y.

Redução de Polinômios

Em muitos casos nos deparamos com representações polinomiais extensivas que podem ser reduzidas por meio das ideias relativas à adição e/ou subtração de monômios[1]. Para que a redução seja possível é necessária à existência de monômios semelhantes na expressão.
Observações:
De acordo com a quantidade de termos resultantes das reduções polinomiais ou até mesmo da representação inicial dos polinômios, podemos classifica-los das seguintes formas:
  • monômio, quando há apenas um termo;
  • binômio, quando há dois termos;
  • trinômio, quando há três termos;
  • acima de três termos, não há nome particular, sendo chamado apenas polinômio.

Grau de um polinômio

O grau de um polinômio reduzido, não nulo, é dado em função de seu termo de maior grau.
Da mesma forma que nos monômios, dado um polinômio reduzido, podemos estabelecer o seu grau em relação a uma de suas variáveis.
  • 8m3n + m4n → esse polinômio é do 4º grau em relação a variável m e do 1º grau em relação à n.
  • x8y5 + x10y2 → esse é um polinômio do 10º grau em relação a variável x e do 5º grau em relação 
  • à y.

Polinômio com uma só variável

A compreensão desse tópico é muito importante para estudos futuros a exemplo das funções. Nos casos abaixo dizemos que são polinômios na incógnita x.
2x – 7                           x2 + x + 3
Esse tipo de polinômio costuma-se ser escrito de forma decrescente, ou seja, do termo de maior grau ao termo de menor grau. Quando falta uma ou mais potências na variável “x” dizemos ser um polinômio incompleto.
7x3 + 2x + 3                          x+ 3
  • 7x3 + 2x + 3 é incompleto, pois poderia ser escrito na forma 7x3 + 0x2 + 2x + 3;
  • x+ 3 é incompleto, pois poderia ser escrito na forma x+ 0x + 3.


Adição de polinômios

A adição de polinômios segue os critérios da redução, obedecendo às propriedades dos monômios no que se refere a termos semelhantes. Devemos sempre agrupar os termos semelhantes e realizar suas adições. Acompanhem:


Multiplicação de um monômio por um polinômio

Para desenvolver o produto de um monômio por um polinômio é primordial o conhecimento sobre a propriedade distributiva da multiplicação, pois esta multiplicação é feita multiplicando-se o monômio por cada termo do polinômio. Vejam nos exemplos:


Multiplicação de um polinômio por outro polinômio

Da mesma forma que o caso anterior, a multiplicação de um polinômio por outro polinômio é feita utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, isto é, deveremos multiplicar cada termo do primeiro polinômio por cada termo do segundo.
Divisão de um polinômio por um monômio
O quociente de um polinômio por um monômio é dado através da divisão de cada termo do polinômio pelo monômio, desde que este não seja nulo. Para isso deveremos conhecer bem as propriedades da potenciação.
(10x4y6 + x3y4 + x2y2) : (x2y)
10x4y: x2y = 10x2y5x3y4 : x2y = xy3 e x2y: x2y = y
Ou seja,
(10x4y6 + x3y4 + x2y2) : (x2y) = 10x2y5 + xy3 + y.


Divisão de um polinômio por outro polinômio

A divisão de polinômios em uma mesma variável “x” é muito semelhante ao algoritmo de divisão abordado nas séries iniciais.

quinta-feira, 27 de março de 2014

CONJUNTOS - 1º BIMESTRE

Conjuntos

Conjunto é um conceito primitivo desenvolvido pelo matemático George Cantor. A partir dele se desenvolveu diversos outros estudos matemáticos.

Elementos de um conjunto e suas representações
Elementos de um conjunto e suas representações
Na Matemática existem alguns conceitos que não se definem. Eles constituem a base de todas as outras definições que são estudadas em Matemática. A exemplo disso, há a reta, o ponto e o plano. Você consegue definir um ponto? Um ponto não precisa de uma definição, mas a partir dele há todo o estudo da Geometria. Semelhantemente acontece com os “Conjuntos”, um conceito matemático primitivo que não apresenta definição.
Ao questionar qualquer criança a respeito do que é um conjunto, ela pode ter dúvidas para responder a essa pergunta, mas provavelmente não terá em mente um exemplo de conjunto. Por exemplo, um pote de doces pode caracterizar um conjunto de balas ou ainda uma banda pode ser descrita como um conjunto de músicos. Da mesma maneira, pode-se dizer que os números {0, 2, 4, 6, 8, 10…} formam um conjunto de números pares.
No final do século XIX, o matemático George Cantor (1845-1918) deu início ao estudo da Teoria dos Conjuntos. Um conjunto pode ser considerado bem definido quando é possível identificar os seus componentes. No exemplo anterior, poderíamos dizer que o número 20 faz parte do conjunto? Vamos analisar esse elemento: o número 20 é par? Sim, então o número 20 faz parte do conjunto dos números pares. Podemos simplificar a linguagem chamando o conjunto dos números pares de P. Então:
P = {conjunto dos números pares} ⇒ P= {0, 2, 4, 6, 8, 10...}
Podemos ainda afirmar que o número 20 pertence a esse conjunto da seguinte forma:
20 € P
Tente agora imaginar um conjunto formado apenas pelos múltiplos de 5, vamos chamá-lo de Q. Temos, então:
Q = {0, 5, 10, 15...}
Nesse caso, o 20 pertence ao conjunto Q? Ele é múltiplo de 5? Sim, pois 4*5=20, então 20 é múltiplo de 5 e, portanto, pertence a Q. Mas existem outros números que pertencem ao conjunto dos números pares e dos múltiplos de 5 simultaneamente. Podemos melhor representá-los através do Diagrama de Venn, como na imagem abaixo:
Representação da Intersecção dos Conjuntos P e Q
Na parte roxa estão representados os números que fazem parte apenas do conjunto P; na seção verde, há os que fazem parte apenas do conjunto Q; e, na parte laranja, estão os números que fazem parte tanto do conjunto P quanto do Q. Dizemos que os números 0, 10 e 20 pertencem à intersecção dos conjuntos P e Q, isto é,{0,10,20} € P  Q. Você pode aprender mais sobre essas e outras relações nos links abaixo ou na seção de Conjuntos Numéricos.

Por Amanda Gonçalves
Graduada em Matemática